un vector. Cuando este es el caso, existen solamente tres tipos de mapas de fase: nodo, espiral y silla, estos tipos pueden ser determinados a partir de los eigenvalores de la matriz A. El centro del mapa de fase está dado por un punto fijo descrito por la ecuación (8):
Ver fórmula 8, en anexos
Al resolver la ecuación (8), se produce una combinación lineal de términos exponenciales para p(t) y q(t), tales términos están dados en función de los eigenvalores de A multiplicados por la variable temporal t. Con el fin de realizar el análisis de orientación de campos en una región, Rao y Jain proponen el siguiente modelo para el vector de campos:
Ver fórmula 9, en anexos
Ver fórmula 10, en anexos
En la ecuación (9), el vector es una función de las coordenadas (x, y). Por lo tanto, una partícula en el plano cartesiano de la imagen cuya velocidad está dada por la ecuación (9) seguirá una trayectoria análoga a la evolución temporal del sistema descrito por la ecuación (7). De esta forma, la ecuación (9), puede ser comparable a la ecuación (7), al asociar el vector con la ecuación de estado de la velocidad ( , ), y la posición (x, y) con el estado (p(t) y q(t)). El campo de orientación generado por la Ec. 9 se define por la ecuación (11), la cual determina el ángulo del vector con el eje x.
Ver fórmula 11, en anexos
El campo de orientación de una imagen de textura puede ser descrito mediante la determinación del tipo de mapa de fase (nodo, espiral, silla) que más se asemeja al campo de orientación. En este trabajo, sólo se considera el mapa de fase correspondiente al tipo nodo (estrella radiada). Debido a que una mamografía puede mostrar varios patrones, se utiliza una ventana de análisis de deslizamiento de tamaño 10 × 10 con un pixel por cada paso. Para cada posición de la ventana, se realiza un conteo en la posición del nodo dado por el punto fijo correspondiente. Se espera que los picos en el mapa de nodos indiquen sitios potenciales de la distorsión de la arquitectura. Por lo tanto, el mapa de nodos se utiliza para detectar picos relacionados con los sitios de la distorsión de la arquitectura. Este procedimiento también se utiliza para detectar el número de falsos positivos.
Post-procesamiento del mapa de nodos. Una vez obtenido el mapa de nodos, se le aplica un filtro Gaussiano (con una desviación estándar equivalente a 1.0 píxel (0.8 mm)) para eliminar ruido y se umbraliza para resaltar puntos de interés. A la imagen umbralizada se le aplica una serie de operaciones morfológicas (Dougherty, 1992) con el fin de agrupar las respuestas que resultan positivas y con ello reducir cada región de resultados positivos a un solo punto. Los puntos resultantes indican posiciones con posible presencia de distorsión de la arquitectura. La aplicación del proceso descrito se puede visualizar en la figura 1, donde se ilustra la detección de probables regiones con distorsión arquitectural. La figura 1(a) muestra la imagen de mamografía original con la delineación manual realizada por expertos clínicos. Las imágenes 1(b) y 1(c) ilustran la magnitud y el campo de orientación respectivamente.
La imagen 1(d) muestra la detección de zonas potenciales de ser distorsiones. Se puede apreciar el nivel de intensidad que representa una mayor posibilidad de ser una distorsión, también se detectan zonas que corresponden a falsos positivos. Una vez que se determinan las regiones de interés en un mamograma, el siguiente paso consiste en extraer las características que mejor representen las propiedades presentes en tal región. La selección y extracción de características es crucial en el desempeño de cualquier sistema de aprendizaje. Enseguida se va a mostrar el proceso seguido por Ayres y Rangayyan para extraer tales elementos.
2.2. Extracción de características
Ayres y Rangayyan consideran las medidas estadísticas de textura propuestas por Haralick (1973), para ser utilizadas en el análisis de la textura y la extracción de características. Estas medidas están basadas en los momentos de una función densidad de probabilidad conjunta, la cual se calcula usando la ocurrencia conjunta de niveles de grises conocida como la matriz de co-ocurrencia de niveles de grises, (GLCM por sus siglas en inglés), y puede ser calculada para varias orientaciones y distancias (Rangayyan, 2005). La GLCM epresenta la probabilidad de ocurrencia del par de niveles de grises entre dos píxeles, separados por una distancia d y un ángulo Las GLCM se construyen mapeando la frecuencia de niveles de gris o probabilidades basadas en la relación espacial de píxeles a diferentes orientaciones mientras se escanea la imagen de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
Debido a que en imágenes naturales los pìxeles vecinos tienden a tener valores similares, las GLCMs tienden a manejar valores grandes a través y alrrededor de la diagonal principal, y valores pequeños en las regiones más alejadas de la misma. Se utilizaron en este proceso, cuatro GLCM normalizadas con una distancia con valor de un pixel de unidad y ángulos con valores de 0°, 45°, 90°, y 135°. Basándose en GLMCs normalizadas, Haralick y otros (Haralick et al, 1973) propusieron catorce medidas de textura (ver Tabla 1). Las matrices de co-ocurrencia propuestas por Haralick y utilizadas por Ayres, producen histogramas con variación de intensidad como una función de los valores de la distancia y orientación. Las fórmulas para obtener las características de textura sugeridas por Haralick se muestran en su trabajo (Haralick, 1973). Por ejemplo, para obtener la medida del contraste, se considera en la matriz de co-ocurrencia, la probabilidad para ir del nivel de gris i al nivel de gris j, así como la distancia entre dos píxeles a través de una orientación. De esta forma la expresión que relaciona estos elementos es la siguiente:
Ver fórmula 12, en anexos
Las características de haralick son aplicadas al conjunto de datos encerrados en las regiones de interés (ROI’s), obtenidas en el proceso anterior (ver Sección 2.1). La base de datos utilizada es MiniMIAS, la cual cuenta con 19 casos de distorsión arquitectural (Suckling, 2015). Para determinar las ROI’s que representan falsos positivos, se aplica el proceso de detección en imágenes que no presentan lesiones. Asimismo, para la